Recherche de couples d'entiers et PGCD - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les couples d'entiers naturels non nuls \((x;y)\) tels que \(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x+y=30 \\ \mathrm{PGCD}(x;y)=6\end{array} \right.\end{align*}\) . 

Solution

D'après la propriété caractéristique du PGCD, on a : 

\(\begin{align*}\left\lbrace \begin{array}{l}x+y=30 \\ \mathrm{PGCD}(x;y)=6\end{array} \right.& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}x+y=30 \\ \mathrm{PGCD}(x';y')=1 \\ x=6x' \\ y=6y'\end{array} \right.\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}6x'+6y'=30 \\ \mathrm{PGCD}(x';y')=1 \\ x=6x' \\ y=6y'\end{array} \right.\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\lbrace \begin{array}{l}x'+y'=5 \\ \mathrm{PGCD}(x';y')=1 \\ x=6x' \\ y=6y'\end{array} \right.\end{align*}\)

On en déduit que les couples \((x';y')\) possibles sont \(\begin{align*}(1;4), (2;3), (3;2) \text{ et } (4;1)\end{align*}\) puis, en multipliant par \(6\) , que les couples \((x;y)\) possibles sont \(\begin{align*}(6;24), (12;18), (18;12) \text{ et } (24;6)\end{align*}\) .